સાબિત કરો કે $\int_{0}^{1} x e^{x} d x = 1$.

(N/A) સંકલન $\int_{0}^{1} x e^{x} d x$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે ખંડશઃ સંકલન (Integration by parts) ની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
ખંડશઃ સંકલનનું સૂત્ર $\int u dv = uv - \int v du$ છે.
ધારો કે $u = x$ અને $dv = e^{x} dx$.
તેથી,$du = dx$ અને $v = \int e^{x} dx = e^{x}$ મળે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\int x e^{x} dx = x e^{x} - \int e^{x} dx = x e^{x} - e^{x} = e^{x}(x - 1)$.
હવે,$0$ થી $1$ સુધીની સીમાઓ (limits) લાગુ કરતા:
$\int_{0}^{1} x e^{x} dx = [e^{x}(x - 1)]_{0}^{1}$.
ઉપરની સીમા $(x = 1)$ માટે કિંમત:
$e^{1}(1 - 1) = e(0) = 0$.
નીચેની સીમા $(x = 0)$ માટે કિંમત:
$e^{0}(0 - 1) = 1(-1) = -1$.
ઉપરની સીમાની કિંમતમાંથી નીચેની સીમાની કિંમત બાદ કરતા:
$0 - (-1) = 1$.
આમ,$\int_{0}^{1} x e^{x} dx = 1$ સાબિત થાય છે.